Definamos a função \( \ln:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} \) onde, \( \forall x > 0 \) temos
\[\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}. \]A função \( \ln \) subtente a área sob o arco de hipérbole, de modo que \( \ln x \) é a medida da área no intervalo \( [1,x] \) para \( x \geq 1 \) e \( [x,1] \) para \( 0 < x < 1 \). Com isso em mente, podemos definir o número e como sendo o valor assumido por \( x \) quando a área sob o arco da hipérbole é igual a 1.
No Cálculo se demonstra que
\[e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}. \]Para provarmos que \( e \) é irracional, suponhamos por absurdo que ele seja racional, isto é, \( e=\dfrac{p}{q} \), onde \( p\,q \in \mathbb{N} \) e \( (p,q)=1 \) (\( p \) e \( q \) são primos entre si). Desenvolvendo (2) temos que
\[\frac{p}{q}−\left (1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{q!} \right )= \sum_{n=q+1}^{+\infty}\frac{1}{n!}. \]Analisando o segundo membro de (3) temos que
\[\sum_{n=q+1}^{+\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{q!}\left ( \frac{1}{(q+1)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots \right ) < \frac{1}{q!} \left ( \frac{1}{(q+1)}+\frac{1}{(q+1)^2} + \cdots \right ). \]Agora podemos observar que a expressão entre parêntesis do último membro de (4) é uma série geométrica de razão pertencente ao intervalo \( (0,1) \). Logo, a série é convergente e converge para \( \dfrac{1}{q} \). Portanto,
\[\sum_{n=q+1}^{+\infty} \frac{1}{n!} < \frac{1}{q!} \frac{1}{q}. \]Agora podemos reescrever (3) como
\[0 < \frac{p}{q}− \left (1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{q!} \right ) < \frac{1}{q}\frac{1}{q!} \]e, consequentemente
\[0 < q!\left( \frac{p}{q}−1−\frac{1}{1!}−\frac{1}{2!}−\cdots−\frac{1}{q!} \right ) < \frac{1}{q}. \]O membro central da desigualdade (7) é um número inteiro, pois \( q! \) cancela todos os denominadores. Mas como \( q \in \mathbb{N} \), temos que \( \dfrac{1}{q} < 1 \), chegamos ao absurdo de que existe um número inteiro entre 0 e 1. Tal absurdo provém da afirmação inicial de que o número e é um racional. Portanto, \(e\) é um número irracional.
FIGUEREDO, Djairo Guedes de, Números Irracionais e Transcendentes, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2002.
LIMA, Elon Lages, Análise Real, Volume 1, Coleção Matemática Universitária, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2014.
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