A operação de raiz quadrada é uma das mais fundamentais da Matemática e aparece em inúmeras situações, mas infelizmente, ao contrário das operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, calculá-la às vezes não é óbvia para uma pessoa comum. Apesar de existirem alguns métodos numéricos para fazerem tal operação quero trazer uma demonstração de um método que, durante minhas brincadeiras, desenvolvi. Confesso que não sei se alguém já o demonstrou desta maneira (não lembro de tê-lo visto) mas é meu desejo deixar esta contribuição. Então, mãos à obra!
O conhecido Binômio de Newton é definido por:
\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{x}{k}x^{k}y^{n-k} \quad \forall x,\,y \in \mathbb{R}\,\mathrm{e}\,n \in \mathbb{N} \]Expandindo o binômio temos que:
\[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^{0}y^{n} + \binom{n}{1}x^{1}y^{n-1} + \binom{n}{2}x^{2}y^{n-2} + \cdots + \binom{n}{n}x^{n}y^{0} \]Se eliminarmos do 2o membro todos os termos à partir do 3o termo construiremos a seguinte desigualdade:
\[ (x+y)^n \geq y^n + nxy^{n-1} \]Fazendo \( y = 1 \) e \( x = h \) construiremos a chamada Desigualdade de Bernoulli:
\[ (1+h)^n \geq 1 + nh \]Para o caso de \( n = 2 \) a desigualdade acima fica \( (1+h)^2 \geq 1+2h \). À partir desta última equação, façamos a substituição \( r = 2h \) e teremos \( (1+r/2)^2 \geq 1+r \). Por fim, obteremos:
\[ \sqrt{1+r} \leq 1+r/2. \]Sejam \( x \in \mathbb{R} \) e \( a,\, b \in \mathbb{N} \) consecutivos de modo que \( a^2 \leq x \leq b^2 \), \( a^2 \geq 1 \) e \( x = a^2 + r \), com \( \lvert r \rvert < 1 \). Assim temos que
\[ \sqrt{x} = \sqrt{a^2+r} = \sqrt{a^2\left (1 + \frac{r}{a^2}\right )} = a\sqrt{1 + \frac{r}{a^2}}. \]Logo, temos que
\[ \sqrt{x} = a\sqrt{1 + \frac{r}{a^2}} \leq a\left ( 1 + \frac{r}{2a^2} \right) = a\left ( \frac{2a^2+r}{2a^2} \right). \]Sabendo que \( r = x - a^2 \) notamos que
\[ a\frac{2a^2-r}{2a^2} = a\frac{2a^2+(x-a^2)}{2a^2} = \frac{x+a^2}{2a}. \]Portanto, concluímos que
\[ \sqrt{x} \approx \frac{x+a^2}{2a}. \]Como queríamos demonstrar.
Vejamos agora o uso da nossa fórmula, que torna o cálculo aproximado da raiz quadrada acessível quando não dispomos de calculadoras. Em todo caso, \( a \) é o maior quadrado perfeito menor que \( x \).
Exemplos:
\( \sqrt{7} \):
Temos que \( x = 7 \) e \( a^2 = 4 \rightarrow a = 2 \). Logo
\[ \sqrt{7} \approx \frac{7+4}{2\cdot2} = \frac{11}{4} = 2,75 \]Na calculadora, \( \sqrt{7} \approx 2,64575 \).
\( \sqrt{23} \):
Temos que \( x = 23 \) e \( a^2 = 16 \rightarrow a = 4 \). Logo
\[ \sqrt{23} \approx \frac{23+16}{2\cdot4} = \frac{39}{8} = 4,875 \]Na calculadora, \( \sqrt{23} \approx 4,79583 \).
\( \sqrt{123} \):
Temos que \( x = 123 \) e \( a^2 = 121 \rightarrow a = 11 \). Logo
\[ \sqrt{123} \approx \frac{123+121}{2\cdot11} = \frac{244}{22} = 11,091 \]Na calculadora \( \sqrt{123} \approx 11,09053 \).
Observa-se que os resultados são mais próximos do valor real quando a distância entre \( x \) e \( a^2 \) é a menor possível.
A fórmula que acabamos de demonstrar é útil quando \( x \geq 1 \). Para \( 0 < x < 1 \) utilize a fórmula \( \sqrt{x} = \sqrt{1+r} \approx 1 + r/2 \).
Exemplo: \( \sqrt{0,32} = \sqrt{1+(-0,68)} \approx 1-0,68/2 = 1-0,34=0,66 \).
Encerramos por hoje e até a próxima dica.